数論への招待

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加藤和也　数論への招待

www.maruzen-publishing.co.jp

 

定理1

120°整数三角形の120°の対辺は，3で割って1余る素数の積．

Ex. (7, 5, 3), (91, 80, 19)

 

定理2

90°整数三角形の90°の対辺は，4で割って1余る素数の積．

Ex. (3, 4, 5), (33, 56, 65)

 

定理3

4で割って1余る素数は，整数の二乗和で書ける．

Ex. 13 = 2^2 + 3^2, 53 = 2^2+ 7^2

 

 

90°整数三角形と複素数

4で割って1余る素数 pについて，定理3より，整数 x,yを用いて，

p = x^2 + y^2 = (x + yi)(x - yi)

とかけるから， \sqrt{p}は複素数平面上で x + yi に対応する点（の絶対値）であり， pを斜辺とする直角三角形は (x + yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyiに対応する．

（ここから，整数 x,yに対して， (x^2+y^2, x^2 - y^2, 2xy)で直角三角形を作ることができることも分かる．）

4で割って1余るの"4"は iが1の4乗根であることに由来する． 

 

120°整数三角形と複素数

\omega ^3 = -1なる \omegaを用いて，120°整数三角形は，複素数平面上で a - b\omegaに対応する点として表せる．

3で割って1余る素数 pについて，整数 a,bを用いて，

p = (a - b\omega)\overline{(a - b\omega)}= (a - b\omega)(a - b\omega^2)

と書けるから，  \sqrt{p}は複素数平面上で a - b\omega に対応する点（の絶対値）であり， pを斜辺とする120°整数三角形は (a - b\omega)^2 = (a^2 - b^2) - (b^2 + 2ab)\omegaに対応する．

 （ここから，整数 a,bに対して， (a^2+ab+b^2, a^2 - b^2, b^2+2ab)で120°整数三角形を作ることができることも分かる．）

3で割って1余るの"3"は \omegaが1の3乗根であることに由来する． 

2019.5.25

蛍の畦道

 

愛媛県松野町の松野南小学校を中心に行われているイベント。

蛍を再生し、児童数が極めて少ない小学校において、地域おこしのイベントをやる。畦道沿いに手作りの灯篭を設置し、小学校では出店やステージをやる。

 

蛍を生であれほど見たのは初めてで、かつ畦道のライトアップも幻想的だった。この地区で、多くの人が自分たちの町のために色々と取り組んでいる理由が共感できた。東京と比較して、地方のこれくらいのお祭り、とても面白いと思った。

2019.5.24

愛媛県松野町へ

 

松野東小学校の小学校5.6年生、7人と風景歩きをする。

周りを散策してもらって、よいと思った風景の絵を描いてもらう。

彼らにとっては当たり前の風景も、都会から来た僕らにとってはとても価値のあるよいものであったりするわけで、普段見過ごしてしまっている価値に気づいてもらえれば、という企画。

橋のたもとの地蔵、茶畑、さまざまな色の山、などがよかった。

https://matsunohigashi-e.esnet.ed.jp/blogs/blog_entries/view/8/b0a53c2448a31384fb500c7a5c2b08e5?frame_id=8

 

 

子供達はとても人懐っこく、また先生方も熱くて、とても規律立てられていて、建物の掃除も行き届いている。地方の地方のような小さな小学校で、とても熱心に教育に携わっている人たちの姿というのは、心打たれた。

2019.5.23

・スタートアップゼミ

均衡配分。何度聞いても、最適化問題で等価な問題に書き換えられるところはすごい。t_a(w)を交通量w=0からx_aまで積分した値をすべてのaについて足し合わせて得られる値、をminにすることが、等価だというのは、いかなる発想として生まれたのか。

 

Frank-Wolfeについて、

1. まず、あるノードに着目してそこをOとし、他の全ノードへの最短経路探索して、ノードツリーの下、すなわち、Oから遠い方からDとして設定し、今設定されたDとその直前ノードとのリンク交通量を、そのOD組の全交通量+そのDから出る交通量の合計、を加える形で更新する。そしたら、ノードツリーを上に一個上がって、今度はそのノードをDとして、同様のことを繰り返す。ノードツリーを上がり続けて、Oまで来たら終了。

これを始点ノードOを順番に変えていって、全ノードOを経験させる。

 

2. これで交通量を決める1ループ。この段階での各リンクのコストを、リンクパフォーマンス関数で計算。

 

3. 更新されたリンクコストを用いて、再び、配分のループを回す。ここで出てくる配分結果、各リンクの交通量{y_a}は、降下方向ベクトルを求めていることになる。

 

4. 次の交通量{x_a(n+1)}は、

{x_a(n+1)} = {x_a(n)} + α(n) * (y_a - x_a(n))

で更新するが、ステップサイズαは、

min[0≦α≦1] Z(α)= Σa \integral _0 ^x_a(n+1) t_a (w) dw 

なるαを取ってきて、{x_a(n+1)}として更新する。

 

2に戻って繰り返す。収束条件を満たすまで。

 

・夏研究にむけて

Arnottは渋滞を考慮したが、一方で、滞在効用を考慮するというのもできる。

中心市街地を半径rとかで取って、そこの滞在効用を正にすれば、中心市街地から少し離れた駐車場に停めて歩く、というのが解になりうる。

大山さんのや、過去の修論をあたる。

何を解きたいか、というところでの判断か、とりあえず、両方やってみるか。

2019.5.22

夏研究にむけて

ArnottやRLを見てみる。

 

Arnottは、線形都市で、家からCBDに車で向かい、CBD付近の駐車場に車を止めてCBDまで歩くことを考える。駐車場の前にボトルネックを一つおき、そこでの渋滞も考える。

各ユーザのコストは、渋滞による待ちコスト＋通行コスト＋駐車コスト＋徒歩移動コスト＋理想の到着時刻より早くor遅く着くコスト

で、コスト最小化。

均衡状態では全員同じコスト。

駐車場配置は、CBDからの距離によらず、一定割合を仮定。ここを変えれるか。この仮定の元だと、駐車場のラベルが、そのまま、CBDからの距離に一致する。

要は、分布を表す密度関数の積分値がラベル番号になるので、密度関数さえ決めれば、ラベリングから、CBDからの距離は与えられる。

駐車料金、通行料などで、均衡解変わる。

2019.5.20

夏研究に向けてということで、先輩方などにも相談しつつ、レビューする既往研究を探していく。

 

イントロとかを読むと、相互にレビューしているわけで、そこから広げていくのもよい。

 

[1] Arnott, Richard, Andre De Palma, and Robin Lindsey. "A temporal and spatial equilibrium analysis of commuter parking." Journal of public economics 45.3 (1991): 301-335.

 

Arnottは駐車場配置と混雑に関して、6本くらい連続して論文を出している。その最初のもの。さまざまな形で引用されているので、とりあえず目を通す。


[2] Franco, Sofia F. "Downtown parking supply, work-trip mode choice and urban spatial structure." Transportation Research Part B: Methodological 101 (2017): 107-122.

 

1次元上で、郊外-周縁-都心のモデルを立てて、駐車場配置についてやっているよう。

 

[3] 赤松隆、ボトルネック交通と渋滞

ボトルネック交通と渋滞で、混雑課金の話をしている